Sia $p$ un punto; il flusso di luce differenziale per unità d'area differenziale intorno $p$ si chiama irradianza:

$$E(p)=\frac{d\Phi (p)}{dA}$$
La radianza incidentale quantifica quanta irradianza differenziale ci sia per differenziale di un angolo solidale $\omega$, considerando solo la componente perpendicolare a quest'ultimo (ispirato dalla legge di Lambert):

$$E(p,\mathbf{n})={\int }_{\Omega }{L}_i(p,\omega )|\cos \theta |d\omega$$
($\theta$ è l'angolo fra un $d\omega$ e la normale della superficie di cui si sta misurando l'irradianza).

La quantità differenziale di radianza che viene rifratta nella direzione ${\omega }_o$ in rapporto a dell'irradianza differenziale proveniente dalla direzione ${\omega }_i$ si definisce così:

$$f_r(p,{\omega }_o,{\omega }_i)=\frac{d{L}_o(p,{\omega }_o)}{dE(p,{\omega }_i)}$$
$$dE(p,{\omega }_i)=L_i(p,{\omega }_i)\cos {\theta }_{i}d{\omega }_i$$
e si può utilizzare per calcolare la radianza di uscita considerando tutte le direzioni possibili $\Omega$ in questo modo:

$$L_o(p,{\omega }_o)={\int }_{\Omega }{f}_r(p,{\omega }_o,{\omega }_i)L_i(p,{\omega }_i)\cos {\theta }_{i}d{\omega }_i$$
è l'equazione fondamentale del rendering; risolvere questo integrale in realtime è infattibile quindi buona parte di cg si occupa di trovare soluzioni approssimate e trick vari. Con ray tracing sono popolari tecniche di monte carlo che tendono ad essere molto accurate ma richiedono tantissime iterazioni e quindi è per utilizzi non interattivi hintlatex

Sia $M$ una varietà differenziabile orientata di dimensione $n$, compatta e con bordo $\partial M$. Sia inoltre $\omega \in {\Omega }^{n-1}(M)$ una $(n-1)$-forma differenziale liscia su $M$. Indichiamo con $i:\partial M\hookrightarrow M$ l'inclusione del bordo in $M$, e orientiamo $\partial M$ con l'orientazione indotta da $M$, secondo la convenzione della normale esterna. Allora vale

$${\int }_{M}d\omega ={\int }_{\partial M}{i}^{\ast }\omega$$
dove $d\omega$ è la derivata esterna di $\omega$ e $i^{\ast }\omega$ è la restrizione di $\omega$ al bordo. In altre parole, l'integrale di una derivata esterna su una varietà è determinato interamente dal comportamento della forma sul bordo. Toerema di Stokes generalizzato sulle varietà hintlatex

Ho deciso che diventerà una rubrica; oggi sul teorema della divergenza hintlatex

Sia $E\subset {\mathbb{R}}^n$ un insieme sufficientemente regolare, per esempio un aperto limitato con bordo $C^1$ a tratti, e sia $\nu$ il campo dei vettori normali esterni a $\partial E$. Indichiamo con ${\mathcal{L}}^n$ la misura di Lebesgue $n$-dimensionale e con ${\mathcal{H}}^{n-1}$ la misura di Hausdorff $(n-1)$-dimensionale. Allora, per ogni funzione $h\in C^1(\overline{E})$ e per ogni $i=1,\dots ,n$, vale

$${\int }_E{D}_{i}hd{\mathcal{L}}^n={\int }_{\partial E}h{\nu }_{i}d{\mathcal{H}}^{n-1}$$
dimostrazione lasciata al lettore hintino x esercizio

Reminder quotidiano di hintlatex con risultato fra i più importanti di algebra lineare elementare

Sia $f:V\to V^{\prime }$ una mappa lineare e siano $\beta =v_1,\dots ,v_n$ e ${\beta }^{\prime }=v_1^{\prime },\dots ,v_m^{\prime }$ basi di $V$ e $V^{\prime }$ spazi vettoriali. Allora $M_{{\beta }^{\prime }\beta }(f)$ è una matrice $m\times n$ le cui colonne sono le coordinate di $f(v_1),\dots ,f(v_n)$ rispetto a ${\beta }^{\prime }$

$M_{{\beta }^{\prime }\beta }(f)=\left[F_{{\beta }^{\prime }}(f(v_1))\cdots F_{{\beta }^{\prime }}(f(v_n))\right]$