BIFORCAZIONE STAZIONARIA SEMPLICE (menomale che è semplice)

$({\underline{x}}_0,{\mu }_0)$ è un punto di biforcazione stazionaria semplice se e solo se valgono:

1)
$\{\begin{array}{l}\underline{f}({\underline{x}}_0,{\mu }_0)=0\\ \nabla \cdot J_{\underline{f}}({\underline{x}}_0,{\mu }_0)=0\end{array}$

2) $J_{\underline{f}}({\underline{x}}_0,{\mu }_0)$ ha l'autovalore nullo semplice $⟺\text{rank}(J_{\underline{f}}({\underline{x}}_0,{\mu }_0))=n-1$

3) Lo Jacobiano orlato valutato in $({\underline{x}}_0,{\mu }_0)$ ha lo stesso ordine dello Jacobiano (singolarità non eliminabile)
$\text{rank}(J_{\underline{f}}({\underline{x}}_0,{\mu }_0)|{\partial }_{\mu }\underline{f}({\underline{x}}_0,{\mu }_0))=n-1$

4) $({\underline{x}}_0,{\mu }_0)$ è punto di intersezione di due rami del diagramma di biforcazione con tangenti distinte