okay ultimo vediamo se mi ricordo ancora come si fa e la smetto

Dato il potenziale V(x,y,z) = 0 per x<Lx,y<Ly,z<Lz e V(x,y,z) = +infinto per x>L_x eccetera, l'eq di schroedinger è

$\hat{H}|k⟩=E_k|k⟩$

$\hat{H}=\frac{{\hat{\mathbf{p}}}^2}{2m_e}=-\frac{{\hslash }^2}{2m_e}\nabla$

Con variabili separabili |k> =A X(x)Y(y)Z(z) si trova

$-\frac{{\hslash }^2}{2m_e}\nabla |k⟩=E_k|k⟩\Rightarrow |k⟩=A{e}^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}$

dove

$k^2=k_x^2+k_y^2+k_z^2=\frac{2m_e{E}_k}{{\hslash }^2}$

Ponendo le condizioni al contorno del tipo

$X(0)=A_{x}0+B_{x}1=0\Rightarrow B_x=0$
$X(L_x)=A_x\sin (k_x{L}_x)=0⟺k_x=\frac{\pi }{L_x}{n}_x$

Analogo per Y e Z. Quindi

$\mathbf{k}=(\frac{\pi }{L_x}{n}_x,\frac{\pi }{L_y}{n}_y,\frac{\pi }{L_z}{n}_z)$

Infine

$|k⟩=AX(x)Y(y)Z(z)=A\sin \left(\frac{\pi }{L_x}{n}_x\right)\sin \left(\frac{\pi }{L_y}{n}_y\right)\sin \left(\frac{\pi }{L_z}{n}_z\right)$

La costante di normalizzazione A si ottiene da

$⟨k|k⟩=A^2\int \sin {\left(\frac{\pi }{L_x}{n}_x\right)}^2\sin {\left(\frac{\pi }{L_y}{n}_y\right)}^2\sin {\left(\frac{\pi }{L_z}{n}_z\right)}^{2}dxdydz=A^2\frac{L_x{L}_y{L}_z}{8}=1$

Gli autovalori sono

$E_{n_x,n_y,n_z}=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2}{2m_e}\left({\frac{n_x}{L_x}}^2+{\frac{n_y}{L_y}}^2+{\frac{n_z}{L_z}}^2\right)$