*Sulla correttezza della matematica (Parte 2)*

(...) Di fatto ogni proposizione è verificata dalla precedente e in realta A,B,C si dicono equivalenti. Tuttavia raggiungere questo schema non è sempre possibile (Appendice, nota B).

Non possiamo dunque dimostrare la correttezza degli assiomi su cui si basano le teorie. Ma possiamo ancora verificare la correttezza della matematica in altro modo?

2) Significato di "Correttezza" e l'incompletezza dei sistemi formali

Innanzi tutto, cerchiamo di capire cosa si intende per "correttezza" di un sistema formale. Le caratteristiche delle teorie formali sono due: coerenza (non si possono dimostrare contemporaneamente P o la sua negazione, ovvero non è contraddittorio) e completezza (un insieme di assiomi è sufficiente per dimostrare tutte le verità della toeria).

Verremmo ora dimostrare queste due proprietà. Tuttavia il secondo teorema di incompletezza di Gödel ci ferma subito, dicendo che questo non è possibile (per saperne di più, appendice nota C).

Tuttavia è possibile verificare che esitano dei modelli che soddisfano gli assiomi, ma non è possibile verificare gli assiomi internamente alla teoria.

Osservazione: Quest'ultima frase è un punto un po' delicato. Non mi dilungherò oltre perché non è essenziale capirlo per seguire il resto del discorso.

Siamo quindi giunti a un punto morto a livello teorico (o almeno non ho trovato altri possibili punti di vista per esplorare il problema). Ma quindi com'è possibile che la matematica funzioni *nella realtà*?

3) Gli errori strumentali e la fisica matematica come approssimazione

Faccio un attimo una piccola digressione sugli errori strumentali nelle misure. Ci servirà per continuare il discorso. Immaginiamo di dover cambiare una porta e dobbiamo dare le misure di quella ad un falegname. Potrei andare vicino al muro e misurare in palmi delle mani, ma non sarei molto preciso. Il massimo che potrei dire la lunghezza è tra 11 e 12 palmi di mano. Potrei andare con un metro, e avere la precisione del millimetro, ma anche qui non saprei la lunghezza reale della fessura, avrei sempre un'incertezza di un millimetro in più o in meno. Potrei andare con un laser e raggiungere una misura del micrometro, ma anche qui avrei un'incertezza del micrometro. Inoltre a questo livello anche uno sottile strato di polvere mi mentirebbe sulla lunghezza effettiva della fessura. Ma alla fine, la misura con il metro è più che (...)

APPENDICE
B) In riferimento agli assiomi dell'aritmetica di Peano, si può dimostrare rigorosamente che non esiste una proposizione C che implica gli infiniti assiomi (gli assiomi sono infiniti in quanto definiti da una regola ricorsiva, per dirla semplicemente, ogni numero è un assioma, e i numeri sono infiniti). La dimostrazione è molto complicata.

C) Secondo teorema di Gödel (enunciato informale): "Nessun sistema abbastanza coerente ed espressivo da contenere l'aritmetica si può utilizzare per dimostrare la sua stessa coerenza." (Fonte: Wikipedia)