DIMOSTRAZIONE DELLA NET IN MODO FORMALE, COERENTE E CON NOTA
ZIONE STANDARD INTERNAZIONALE
Enunciato intuitivo:
“Se non esiste nulla che non esiste, allora qualcosa esiste.”
Formalizzazione in logica del primo ordine:
¬∃x¬E(x)→∃xE(x)
dove:
E(x) è il predicato “x è reale / esiste nella realtà fenomenica”.
Nota: qui “E” non è “esistenza assoluta” metafisica, ma un predicato qualsiasi del
linguaggio logico.
Assioma di non-vacuity (A₀)
(1) (A₀) ∃a(a=a)
Il dominio del discorso non è vuoto: esiste almeno un oggetto.
Nel nostro quadro interpretativo, il dominio contiene almeno una entità logi
co-matematica (la NET), che è un adiastaton:
non esiste sul piano fisico fenomenologico, ma esiste come ente logico-formale.
Dimostrazione
Vogliamo dimostrare: ¬∃x¬E(x)→∃xE(x).
(2) Assumiamo l’antecedente come ipotesi:
¬∃x¬E(x)
(3) Usiamo la legge generale sui quantificatori:
¬∃xP(x)≡∀x¬P(x)
Applichiamola con P(x):=¬E(x).
Otteniamo:
¬∃x¬E(x)≡∀x¬¬E(x)
(4) Per eliminazione della doppia negazione:
∀x¬¬E(x)⇒∀xE(x)
(5) Dalla formula
∀xE(x), per eliminazione del quantificatore universale, posso inferire:
Dalla formula ∀xE(x), per eliminazione del quantificatore universale, posso
inferire E(a),
dove “a” è l’oggetto la cui esistenza è garantita da (A₀) (cioè ∃a(a=a)).
Interpretazione: “esiste almeno un x che esiste”.
E(c)
per un termine qualunque 𝑐 del linguaggio (una costante, un simbolo, ecc.).
Qui entra in gioco implicitamente (A₀): il dominio è non vuoto, quindi i termini
denotano qualcosa.
(6) Da E(c), per introduzione dell’esistenziale otteniamo:
∃xE(x)
(7) Abbiamo derivato ∃xE(x) a partire dall’ipotesi ¬∃x¬E(x).
Quindi, per introduzione dell’implicazione:
¬∃x¬E(x)→∃xE(x)
QED.
Riassunto
Quello che abbiamo appena dimostrato è:
Se è falso che esiste qualcosa che non esiste,
allora esiste qualcosa che esiste.
Che è esattamente:
“Se la non-esistenza non esiste, allora l’esistenza esiste”
oppure, in forma più compatta:
“La non-esistenza della non-esistenza implica l’esistenza.”