okay dimostrazione utile per l’esame TIGHT BINDING (grazie @ice così posso ripetere scrivendo da telefono)

assumiamo che lo stato quantico dell’elettrone in un reticolo cristallino sia una combinazione lineare di orbitali atomici (approssimazione tight binding)

$|\psi ⟩={\sum }_{R,n}{b}_{n,R}{T}_R|{\varphi }_n⟩$

ci limitiamo a un sottoinsieme degli orbitali di valenza $n=0,\dots ,n_0$ (approssimazione core congelato)

Riscriviamo l’hamiltoniana del singolo elettrone

$H=T+V_{eff}=H_{at}+\Delta U$

Eq di Schroedinger matriciale

$\hat{H}|\psi ⟩=E|\psi ⟩$
$H_{at}+\Delta U{\sum }_{R,n}{b}_{R,n}{T}_R|{\varphi }_n⟩=E{\sum }_{R,n}{b}_{R,n}{T}_R|{\varphi }_n⟩$
${\sum }_{R,n}(E_{at}^m{B}_{mn}+C_{mn})b_{Rn}=E{\sum }_{R,n}{B}_{mn}{b}_{Rn}$

con $B_{mn}(R)=⟨m|T_r|n⟩$ e $C_{mn}(R)=⟨m|\Delta U{T}_r|n⟩$.

Scriviamo i coefficienti in modo che soddisfino il teo di Bloch

$b_{Rn}=e^{ikR}{\tilde{b}}_n$

Distribuendo l’esponenziale e sommando su R otteniamo la FT di B e C ovvero

$B_{mn}^k={\sum }_R{e}^{ikR}⟨m|T_R|n⟩$

$C_{mn}^k={\sum }_R{e}^{ikR}⟨m|\Delta U{T}_R|n⟩$

infine

${\sum }_n(E_{at}^m{B}_{mn}^k+C_{mn}^k){\tilde{b}}_{Rn}=E{\sum }_n{B}_{mn}^k{\tilde{b}}_{Rn}$